Introduction à Scilab
4. Application : Calcul des projecteurs

Considérons un espace vectoriel H⊂ ℝn. Étant donnés deux vecteurs u et v de cet espace, le cosinus de leurs angles est donné par la formule : cos θ =u⊤ v/||u||· ||v|| ce qui en Scilab donne :

cosTh = cos(u’*v/(norm(u,2)*norm(v,2)))

et si on veut obtenir l’angle en radians, on doit faire

angle = acos(cosTh)

que nous pouvons convertir en degrés à l’aide de l’instruction

angle = angle * 180 / %pi
Exemple 1   Supposons que H⊂ ℝ4 On prend u = [- 4. 2. 1. 2.]’; v = [ 1. 0. 2. 2. ]’ =⇒ cosTh = 0.1333333 , angle = 1.4370647 rad = 82.337744∘ .

Ensembles orthonormaux

Considérons l’ensemble de vecteurs indépendants B={u1,u2,… ,un}. Cet ensemble est appelé ensemble orthonormal si

En Scilab pour obtenir un ensemble orthonormal, on construit la matrice

U = ⎡
⎣		u1,u2,… ,un⎤
⎦

et on utilise le programme orth

V = orth(U)

Si les colonnes de la matrice V forment une base dans l’espace des vecteurs ui, on dit ue la matrice est orthogonale. Ces matrices ont des propriétés intéressantes. Par exemple

Projections orthogonales élémentaires

Soit u∈ H, avec ||u||2=1. Une matrice de la forme

Q=I−uu⊤ 

est appelée projecteur orthogonal élémentaire.

Exemple 2   Soit u∈ ℝ3 avec ||u||2=1. Notons par u⊥ l’espace de tous les vecteurs de .ℝ3 qui sont perpendiculaire à u. La matrice Q=I−uu⊤ est le projecteur orthogonal dans u⊤ dans le sens où Q applique chaque x∈ ℝ3 à sa projection orthogonale dans u⊤ .

En effet on a

x=⎛
⎝		I−Q⎞
⎠
x+Qx   =⇒ ⎛
⎝		I−Q⎞
⎠		x⊥ Qx

Exercice 1   Vérifier l’exemple précédent en prenant
u1=[1,0,0,−1]⊤ ,u2=[1,2,0,−1]⊤ ,u3=[3,1,1,−1]⊤ 
Vérifier en particulier que si on prend v=[1,0,2,2]⊤ , on a v=( I−Q) v+Qv, où Q=I−u1u1⊤

Comme Q=I−uu⊤ est le projecteur orthogonal dans u⊤ , on a que ( I−uu⊤ ) x est la projection orthogonale de x dans u⊤ . Donc uu⊤ x est la projection orthogonale de x dans span{u}, qui est l’espace à une dimension engendré par u. Par conséquent la valeur absolue du produit intérieur | u⊤ x| est la longueur de la projection orthogonale de x dans l’espace à une dimension engendré par u.

Généralisation .- Soit u∈ H⊂ IRn avec dim( H) =n. Les projections orthogonales dans span{u} et u⊤ sont Pu=uu⊤ /||uu⊤ ||  et  Pu⊤ =I−uu⊤ /||uu⊤ || respectivement.

Projection orthogonales

On peut bien sûr considérer des sous espaces engendrés par plus d’un vecteur. Soit U⊂ ℝn et notons par V⊂ ℝn tel que U⊥ V. U et V sont des espaces complémentaires et on a H=U⊕ V. Un projecteur est P est une matrice ( n× n) telle que pour tout vecteur x∈ H le produit P· x est la projection de x dans U.

Les propriétés des projecteurs sont les suivantes :

Exercice 2   Considérons les deux sous-espaces de ℝ3 engendrés par les vecteurs
BU=⎧
⎪
⎨
⎪
⎩		⎡
⎢
⎢
⎣
1 
−1 
−1
 ⎤
⎥
⎥
⎦		,⎡
⎢
⎢
⎣
0 
1 
−2
 ⎤
⎥
⎥
⎦		⎫
⎪
⎬
⎪
⎭		 et BV=⎧
⎪
⎨
⎪
⎩		⎡
⎢
⎢
⎣
1 
−1 
0
 ⎤
⎥
⎥
⎦		⎫
⎪
⎬
⎪
⎭

Vérifier en utilisant Scilab que les espaces U et V sont des espaces complémentaires pour ℝ3 et déterminer les projecteurs dans U et V.

Soit le vecteur x=[ −2,1,3] ⊤ ∈ ℝ3. Déterminer ses projections dans U et V.

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